FREILA: Números cuadrados Si el triángulo tiene tres lados,...

Números cuadrados Si el triángulo tiene tres lados, el cuadrado tiene cuatro (y cuatro ángulos rectos, de 90 grados), por lo cual era de esperar que la sucesión de los números cuadrados fuese muy distinta de la de los triangulares. Ahora bien, un solo punto aislado encajaba igual de bien en un cuadrado que en un triángulo, de manera que la sucesión de cuadrados empezaba también por el número 1. Los siguientes cuadrados se podían formar colocando orlas de puntos adicionales a lo largo de dos lados adyacentes del cuadrado anterior. Añadiendo tres puntos al cuadrado de uno se formaba un cuadrado de cuatro puntos, que representaba el número 4. Y el de nueve se obtenía de forma análoga, orlando con cinco puntos más el cuadrado de cuatro. La secuencia proseguía con cuadrados de dieciséis puntos (el cuadrado de nueve, más siete puntos), veinticinco puntos (dieciséis más nueve), treinta y seis (veinticinco más once), etc. El resultado era la sucesión de números cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36,... Como los triángulos crecían de manera regular, no le cogió de sorpresa a Pitágoras el que los cuadrados hicieran lo propio. El número de puntos añadidos a cada nuevo cuadrado era siempre un número impar, y siempre era dos puntos mayor que el número añadido la vez anterior. (Las cursivas vuelven a indicarlo.) Dicho de otro modo, los números cuadrados podían formarse mediante una sucesión de sumas de números impares consecutivos: 1 = 1; 4 = 1 + 3; 9=1 + 3 + 5; 16 = 1 + 3 + 5 + 7; 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9; etcétera. Los cuadrados también se podían construir a base de sumar dos números triangulares consecutivos: 4=1+3; 9 = 3 + 6; 16 = 6+10; 25=10+15;... O multiplicando un número por sí mismo: 1 = 1x1; 4 = 2x2; 9 = 3x3;... Este último método es una manera especialmente importante de formar cuadrados. Puesto que 9 = 3x3, decimos que 9 es el cuadrado de 3; y lo mismo para 16, el cuadrado de 4, o para 25, el cuadrado de 5, etc. Por otro lado, decimos que el número más pequeño —el que multiplicamos por sí mismo— es la raíz cuadrada de su producto: 3 es la raíz cuadrada de 9, 4 la de 16, etcétera