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TERCERA SEMANA CON MARIO
Comenzó la semana, recordando Mario a los niños, que la endemoniada, retorcida
y endiablada bestia de la mentira, había sido expulsada fuera del reino del mundo de los números árabes, enviada al espacio con un movimiento hiperbólico, para no retornar jamás, y no pudiera eliminar más números del reino.
Haciendo recordar que la fecha era el 27 del mes de Augusto del año 2009.
Cuando se alejaba fuera del espacio visual, voceando con gran fuerza acusaba a sus vencedores, los números árabes, de que estaban “locos” y no eran “cuerdos”.
Pero los números en potencia seguían desarrollando su trabajo, demostrando que
la bestia endemoniada de la mentira, no tenia razón en las acusaciones que hacia ellos vertía. La bestia seguía en su labor de mentir, aún cuando se alejaba más y
más del reino del mundo de los números árabes, con la batalla perdida.
Mario cogió una tiza con su mano derecha y escribiendo en la pizarra cuadriculada hizo la imagen nº 15.
0² = 0
1² = 1
2² = 1+3
3² = 1+3+5
4² = 1+3+5+7
5² = 1+3+5+7+9
6² = 1+3+5+7+9+11
7² = 1+3+5+7+9+11+15
8² = 1+3+5+7+9+11+15+17
9² = 1+3+5+7+9+11+15+17+19
IMAGEN nº 15
Para los que no recuerden la parábola del cuadrado de los número árabes, saber que el cuadrado del número es igual a la suma de los números de orden impar cuyo
grupo de sumandos indica el propio número, partiendo siempre del uno.
Seguidamente Mario, tomó tres números 3²; 4²; y 7²; y gravó en su pizarra la imagen nº 16.
3² = 1+3+5
4² = 1+3+5+7
7² = 1+3+5+7+9+11+13
¿?= 1- 3- 5 -1--3 –-5---7
¿?= 0+0+0+6+6 +6 +6
IMAGEN nº 16
Mario dijo, al siete le restamos uno y quedan seis (7-1 = 6).
Al nueve réstale tres y te quedaran seis (9 -3 = 6).
De once restar cinco y te quedan seis (11-5 = 6).
Hacer lo mimo de trece resten siete (13-7 = 6).
Del cuadrado de siete (7²) se ha restado el cuadrado
de tres (3²) y de manera seguida el cuadrado de cuatro (4²).
Comprobamos que la diferencia que queda es (6+6+6+6) igual al doble
producto del primero por el segundo (3x4) 2 = 24 = (6x4).
Probar que la suma del número primero más el segundo es (3+4=7).
Nuevamente Mario puso otro ejemplo en su enorme pizarra, esta vez
utilizó el cuadrado de tres (3²), el cuadrado de cinco (5²) y de la suma de tres
más cinco, tomo el cuadrado de ocho (8²).
Copiando de la imagen nº 15 los cuadrados de tres, el cuadrado de cinco y
cuadrado de ocho, a imagen y semejaza hizo lo mismo que en la imagen
número dieciséis, creando la imagen nº 17, que anotó así en la pizarra.
3²= 1+3+5
5²= 1+3+5+7+9
8²= 1+3+5+7+9+11+13+15
¿?=1--3--5-1--3—5--- 7---9
¿?=0+0+0+6+6 +6 +6 +6
IMAGEN nº 17
Restando el cuadrado de tres y el cuadrado de cinco siguiendo el orden tomado
en la imagen dieciséis.
Dijo Mario, nuevamente aparece el seis del demonio, esta vez crecido en
cinco veces seis, (6x5=30).
Comprobemos si es el doble producto del primero por el segundo de tres por cinco (3x5) 2=30, efectivamente la suma de cinco veces seis da treinta.
Todos los alumnos se dieron cuenta que en ambos, caso comprobados salía
siempre el número seis y decidieron hacer otro ejemplo.
Tomaron el cuadrado de dos (2²), cuadrado de siete (7²) y de la suma de siete más dos, el cuadrado de nueve (9²) y repitieron la operación como lo habían hecho
en los dos casos anteriores.
2²= 1+3
7²= 1+3+5+7+9+11+13
9²= 1+3+5+7+9+11+13+15+17
¿?=1--3-1--3--5---7---9---11-- 13
¿?=0+0+4 +4+4 +4 +4 +4 +4
Cinco menos uno, cuatro (5-1=4).
Siete menos tres, cuatro (7-3)=4.
Nueve menos cinco, cuatro (9-5)=4.
Once menos siete, cuatro (11-7)=4.
Trece menos nueve, cuatro (13-9)=4.
Quince menos once, cuatro (15-11)=4
Diecisiete menos trece, cuatro (17-13)=4.
IMAGEN nº 18.
Comprobemos si el doble producto de siete por dos, son siete
veces cuatro (4x7)=28= 2x7x2, efectivamente son veintiocho.
Nos contó Mario nada endiablado hay en el reino de los números
árabes, los dos ejemplos primeros, si restamos en distinto orden,
no aparecerá el número seis saldrá otro número que satisface también
al doble producto del primero por el segundo, preguntó queréis
verlo, si maestro, respondieron algunos niños. De manera que Mario
con su santa paciencia, copió la imagen nº 16 haciendo la resta como
dijo. El orden de los sumandos no alteran el resultado, bueno en este
caso las diferencias.
3² = 1+3+5
4² = 1+3+5+7
7² = 1+3+5+7+9+11+13
¿?= 1- 3- 5 -7--1 –-3---5
¿?= 0+0+0+0+8 +8 +8
IMAGEN nº 19.
Como era de esperar Mario tenia razón en lo que dijo, el seis se había
convertido en ocho, verificando que tres por ocho son veinticuatro, que
es a su vez, el doble producto de tres por cuatro, (8x3= 3x4x2=24).
Lo mismo hizo con la imagen nº 17, de manera que resulta como en
la imagen nº 20.
3²= 1+3+5
5²= 1+3+5+7+9
8²= 1+3+5+7+9+11+13+15
¿?=1--3--5-7--9—1--- 3--- 5
¿?=0+0+0+0+0+10+10 +10
IMAGEN nº 20.
Los niños alumnos de Mario, comprobaron que también tres veces
diez cumplen el doble producto del primero por el segundo, en este
caso treinta, es el doble, del producto de tres por cinco.
De manera que Mario dijo, de la parábola de la imagen número
quince, se deduce que el cuadrado de la suma de dos números, es igual
al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble
producto del primero por el segundo.
Tomando la imagen número veinte, demostró ser cierto lo que había dicho,
grabando en la pizarra una nueva imagen, a la que llamó veintiuno.
(3 + 5)² = 3² + 2* (3*5) + 5² = (3*3) + (5*5) + 2* (3*5) = 9 + 25 + 30 = 8²= 64.
IMAGEN nº 21.
Cuando Mario termina de escribir la imagen veintiuno, dice que si cada
una de las expresiones de las igualdades escritas, sus miembros se multiplican
todos por uno, las igualdades no varían y eso fue lo que hizo además de
sustituir los números por letras para ver unos coeficientes vitales y no
confundirlo con los números.
1*3² + 1*2 (3*5) + 1*5² = 1* (3 + 5)²; sustituyendo; 3 = a y 5 = b; se tiene;
1*a² + 1*2 (a*b) + 1*b² = 1 (a + b) ²; quedando; 1a² + 2 (a * b) + 1b² = (a + b) ²
IMAGEN nº 22.
Razonando Mario a sus alumnos, la manera de como salen los coeficientes
del cuadrado de una suma, dijo que del producto (a + b)* (a + b)* (a + b) se
obtienen el cubo de una suma (a + b) ³ o de la suma elevada a cualquier
otro exponente “n”siguiendo en mismo criterio, de manera que Mario, en forma triangular anota en la pizarra, de manera clara los valores de los coeficientes
para los exponentes 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.
n=0++++++++++++++++++++++++++1 . p=0
n=1+++++++++++++++++++++++1+++ ++1. p=1
n=2++++++++++++++++++++1+++++2 ++++++1. p=2
n=3+++++++++++++++++1+++++3+++ ++3++++++1. p=3
n=4++++++++++++++1+++++4+++++6 ++++++4++++++1. p=4
n=5+++++++++++1+++++5+++++10++ ++10+++++5++++++1. p=5
n=6++++++++1+++++6+++++15++++2 0+++++15+++++6++++++1. p=6
n=7+++++1+++++7+++++21++++35++ ++35+++++21+++++7++++++1. p=7
n=8++1+++++8+++++28++++56++++7 0+++++56+++++28+++++8++++++1. p=8
IMAGEN nº 23
Autora Angelines Fuertes.
Comenzó la semana, recordando Mario a los niños, que la endemoniada, retorcida
y endiablada bestia de la mentira, había sido expulsada fuera del reino del mundo de los números árabes, enviada al espacio con un movimiento hiperbólico, para no retornar jamás, y no pudiera eliminar más números del reino.
Haciendo recordar que la fecha era el 27 del mes de Augusto del año 2009.
Cuando se alejaba fuera del espacio visual, voceando con gran fuerza acusaba a sus vencedores, los números árabes, de que estaban “locos” y no eran “cuerdos”.
Pero los números en potencia seguían desarrollando su trabajo, demostrando que
la bestia endemoniada de la mentira, no tenia razón en las acusaciones que hacia ellos vertía. La bestia seguía en su labor de mentir, aún cuando se alejaba más y
más del reino del mundo de los números árabes, con la batalla perdida.
Mario cogió una tiza con su mano derecha y escribiendo en la pizarra cuadriculada hizo la imagen nº 15.
0² = 0
1² = 1
2² = 1+3
3² = 1+3+5
4² = 1+3+5+7
5² = 1+3+5+7+9
6² = 1+3+5+7+9+11
7² = 1+3+5+7+9+11+15
8² = 1+3+5+7+9+11+15+17
9² = 1+3+5+7+9+11+15+17+19
IMAGEN nº 15
Para los que no recuerden la parábola del cuadrado de los número árabes, saber que el cuadrado del número es igual a la suma de los números de orden impar cuyo
grupo de sumandos indica el propio número, partiendo siempre del uno.
Seguidamente Mario, tomó tres números 3²; 4²; y 7²; y gravó en su pizarra la imagen nº 16.
3² = 1+3+5
4² = 1+3+5+7
7² = 1+3+5+7+9+11+13
¿?= 1- 3- 5 -1--3 –-5---7
¿?= 0+0+0+6+6 +6 +6
IMAGEN nº 16
Mario dijo, al siete le restamos uno y quedan seis (7-1 = 6).
Al nueve réstale tres y te quedaran seis (9 -3 = 6).
De once restar cinco y te quedan seis (11-5 = 6).
Hacer lo mimo de trece resten siete (13-7 = 6).
Del cuadrado de siete (7²) se ha restado el cuadrado
de tres (3²) y de manera seguida el cuadrado de cuatro (4²).
Comprobamos que la diferencia que queda es (6+6+6+6) igual al doble
producto del primero por el segundo (3x4) 2 = 24 = (6x4).
Probar que la suma del número primero más el segundo es (3+4=7).
Nuevamente Mario puso otro ejemplo en su enorme pizarra, esta vez
utilizó el cuadrado de tres (3²), el cuadrado de cinco (5²) y de la suma de tres
más cinco, tomo el cuadrado de ocho (8²).
Copiando de la imagen nº 15 los cuadrados de tres, el cuadrado de cinco y
cuadrado de ocho, a imagen y semejaza hizo lo mismo que en la imagen
número dieciséis, creando la imagen nº 17, que anotó así en la pizarra.
3²= 1+3+5
5²= 1+3+5+7+9
8²= 1+3+5+7+9+11+13+15
¿?=1--3--5-1--3—5--- 7---9
¿?=0+0+0+6+6 +6 +6 +6
IMAGEN nº 17
Restando el cuadrado de tres y el cuadrado de cinco siguiendo el orden tomado
en la imagen dieciséis.
Dijo Mario, nuevamente aparece el seis del demonio, esta vez crecido en
cinco veces seis, (6x5=30).
Comprobemos si es el doble producto del primero por el segundo de tres por cinco (3x5) 2=30, efectivamente la suma de cinco veces seis da treinta.
Todos los alumnos se dieron cuenta que en ambos, caso comprobados salía
siempre el número seis y decidieron hacer otro ejemplo.
Tomaron el cuadrado de dos (2²), cuadrado de siete (7²) y de la suma de siete más dos, el cuadrado de nueve (9²) y repitieron la operación como lo habían hecho
en los dos casos anteriores.
2²= 1+3
7²= 1+3+5+7+9+11+13
9²= 1+3+5+7+9+11+13+15+17
¿?=1--3-1--3--5---7---9---11-- 13
¿?=0+0+4 +4+4 +4 +4 +4 +4
Cinco menos uno, cuatro (5-1=4).
Siete menos tres, cuatro (7-3)=4.
Nueve menos cinco, cuatro (9-5)=4.
Once menos siete, cuatro (11-7)=4.
Trece menos nueve, cuatro (13-9)=4.
Quince menos once, cuatro (15-11)=4
Diecisiete menos trece, cuatro (17-13)=4.
IMAGEN nº 18.
Comprobemos si el doble producto de siete por dos, son siete
veces cuatro (4x7)=28= 2x7x2, efectivamente son veintiocho.
Nos contó Mario nada endiablado hay en el reino de los números
árabes, los dos ejemplos primeros, si restamos en distinto orden,
no aparecerá el número seis saldrá otro número que satisface también
al doble producto del primero por el segundo, preguntó queréis
verlo, si maestro, respondieron algunos niños. De manera que Mario
con su santa paciencia, copió la imagen nº 16 haciendo la resta como
dijo. El orden de los sumandos no alteran el resultado, bueno en este
caso las diferencias.
3² = 1+3+5
4² = 1+3+5+7
7² = 1+3+5+7+9+11+13
¿?= 1- 3- 5 -7--1 –-3---5
¿?= 0+0+0+0+8 +8 +8
IMAGEN nº 19.
Como era de esperar Mario tenia razón en lo que dijo, el seis se había
convertido en ocho, verificando que tres por ocho son veinticuatro, que
es a su vez, el doble producto de tres por cuatro, (8x3= 3x4x2=24).
Lo mismo hizo con la imagen nº 17, de manera que resulta como en
la imagen nº 20.
3²= 1+3+5
5²= 1+3+5+7+9
8²= 1+3+5+7+9+11+13+15
¿?=1--3--5-7--9—1--- 3--- 5
¿?=0+0+0+0+0+10+10 +10
IMAGEN nº 20.
Los niños alumnos de Mario, comprobaron que también tres veces
diez cumplen el doble producto del primero por el segundo, en este
caso treinta, es el doble, del producto de tres por cinco.
De manera que Mario dijo, de la parábola de la imagen número
quince, se deduce que el cuadrado de la suma de dos números, es igual
al cuadrado del primero más el cuadrado del segundo más el doble
producto del primero por el segundo.
Tomando la imagen número veinte, demostró ser cierto lo que había dicho,
grabando en la pizarra una nueva imagen, a la que llamó veintiuno.
(3 + 5)² = 3² + 2* (3*5) + 5² = (3*3) + (5*5) + 2* (3*5) = 9 + 25 + 30 = 8²= 64.
IMAGEN nº 21.
Cuando Mario termina de escribir la imagen veintiuno, dice que si cada
una de las expresiones de las igualdades escritas, sus miembros se multiplican
todos por uno, las igualdades no varían y eso fue lo que hizo además de
sustituir los números por letras para ver unos coeficientes vitales y no
confundirlo con los números.
1*3² + 1*2 (3*5) + 1*5² = 1* (3 + 5)²; sustituyendo; 3 = a y 5 = b; se tiene;
1*a² + 1*2 (a*b) + 1*b² = 1 (a + b) ²; quedando; 1a² + 2 (a * b) + 1b² = (a + b) ²
IMAGEN nº 22.
Razonando Mario a sus alumnos, la manera de como salen los coeficientes
del cuadrado de una suma, dijo que del producto (a + b)* (a + b)* (a + b) se
obtienen el cubo de una suma (a + b) ³ o de la suma elevada a cualquier
otro exponente “n”siguiendo en mismo criterio, de manera que Mario, en forma triangular anota en la pizarra, de manera clara los valores de los coeficientes
para los exponentes 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.
n=0++++++++++++++++++++++++++1 . p=0
n=1+++++++++++++++++++++++1+++ ++1. p=1
n=2++++++++++++++++++++1+++++2 ++++++1. p=2
n=3+++++++++++++++++1+++++3+++ ++3++++++1. p=3
n=4++++++++++++++1+++++4+++++6 ++++++4++++++1. p=4
n=5+++++++++++1+++++5+++++10++ ++10+++++5++++++1. p=5
n=6++++++++1+++++6+++++15++++2 0+++++15+++++6++++++1. p=6
n=7+++++1+++++7+++++21++++35++ ++35+++++21+++++7++++++1. p=7
n=8++1+++++8+++++28++++56++++7 0+++++56+++++28+++++8++++++1. p=8
IMAGEN nº 23
Autora Angelines Fuertes.