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CUARTA SEMANA CON MARIO.
Lunes, las nueve horas de la mañana de la cuarta semana, Mario decía a sus alumnos, hoy y durante toda esta semana nuestra clase, estará animada por sucesiones del mundo de los números árabes.
Se entiende por sucesión, una progresión de números tales que entre ellos existe una relación matemática. Cada uno de estos números se denominan términos, cuando la relación matemática entre ellos, es una suma la progresión se llama aritmética, si la relación matemática es un producto se dice geométrica. Para ambos casos la diferencia entre dos términos se llama “razón” de la progresión.
Las sucesiones pueden ser: sucesión finita, sucesión indefinida y doblemente indefinida.
Seguidamente tomó la tiza y en su pizarra cuadriculada Mario comienza a escribir varios ejemplos de progresiones aritmética de números árabes.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...... Razón R = 1...... número de términos N = 10
U0, U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9...... Nombre de sus términos
...1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...... Razón R = 1....... número de términos N = 9
U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9...... Nombre de sus términos.
Suma de los diez términos = [ (0+9)/2]*10 = 4,5*10 = 45
Suma de los nueve términos = [ (1+9)/2]*9 = 5*9 = 45
IMAGEN nº 30
Existe una fórmula muy sencilla para sumar los números en progresión aritmética, se multiplica la semisuma del primer y último término por el número de términos. Recordar el área del trapecio, semisuma de las bases por la altura.
Estas sucesiones de progresión aritméticas de números, pueden ser creado cada uno de sus términos en función de un “termino general” que llamamos An, siendo este función de “n” (ene), dando valores a “n”, obtendremos los valores de cada “término”, que en sucesiones llamaremos a cada uno de los términos:
A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9...... Nombre de sus términos. El índice de cada término, representa el valor de “n”, que se introduce en el término general, se plantean dos problemas.
1º.- Dada una sucesión, encontrar el “término general”.
2º.- Dado el “término general”, An, escribir la sucesión.
Ejemplos:
Sucesión 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... encontrar su término general. An= A1+ n * d; pero
como A1= A0; se puede quedar en: An = n * d
d = razón o diferencia entre cada término, para este caso d = 1.
A0 = 0+ 0*1 = 0
A1 = 0+ 1*1 = 1
A2 = 0+ 2*1 = 2
A3 = 0+ 3*1 = 3
A4 = 0+ 4*1 = 4
A5 = 0+ 5*1 = 5
A6 = 0+ 6*1 = 6
IMAGEN nº 31
Sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.... encontrar su término general. An = A1+ (n-1) *d
d = razón o diferencia
A1 = 1+ (1-1)*1 = 1
A2 = 1+ (2-1)*1 = 2
A3 = 1+ (3-1)*1 = 3
A4 = 1+ (4-1)*1 = 4
A5 = 1+ (5-1)*1 = 5
A6 = 1+ (6-1)*1 = 6
A7 = 1+ (7-1)*1 = 7
IMAGEN nº 32
Sucesión 1, 3, 5, 7, 9,.... encontrar su término general. An = 2n-1. Ejemplo clásico de los números impares de una calle, lado derecho.
A1 = 2*1-1 = 1
A2 = 2*2-1 = 3
A3 = 2*3-1 = 5
A4 = 2*4-1 = 7
A5 = 2*5-1 = 9
IMAGEN nº 33
Sucesión 2, 4, 6, 8, 10... encontrar su término general. An = 2n. Ejemplo clásico de los números pares de una calle, lado izquierdo.
A1 = 2*1 = 2
A2 = 2*2 = 4
A3 = 2*3 = 6
A4 = 2*4 = 8
A5 = 2*5 = 10
IMAGEN nº 34
Sucesión 1, 5, 9, 13, 17... encontrar su término general. An = 4n-3
A1 = 4*1-3 = 1
A2 = 4*2-3 = 5
A3 = 4*3-3 = 9
A4 = 4*4-3 = 13
A5 = 4*5-3 = 17
IMAGEN nº 35
Sucesión 2, 6, 10, 14, 18... encontrar su término general. An = 4n-2
A1 = 4*1-2 = 2
A2 = 4*2-2 = 6
A3 = 4*3-2 = 10
A4 = 4*4-2 = 14
A5 = 4*5-2 = 18
IMAGEN nº 36
Sucesión 4, 8, 12, 16, 20... encontrar su termino general. An = 4n.
Mario dice a sus alumnos, observar que la razón o diferencia es de cuatro en las progresiones:
1, 5, 9, 13, 17......... An = 4n-3 Imagina esta progresión como tu brazo derecho.
2, 6, 10, 14, 18....... An = 4n-2 Imagina la progresión como extremidades inferior.
3, 7, 11, 15, 19....... An = 4n-1 Imagina la progresión como tu brazo izquierdo.
4, 8, 12, 16, 20....... An = 4n Imagina la progresión de tu cabeza.
IMAGEN nº 37
La mayor de todas, pues ella, su cerebro, tiene imaginación, mayor su primer termino, mayor todos los siguientes y mayor su último término a igualdad de los mismos. La progresión media (media aritmética), igual que los términos alternos de una sucesión, su semisuma proporcionan el término que hay en el medio, uno más nueve son diez que dividido dos, da el término cinco; nueve más diecisiete son veintiséis que dividido dos, da el término trece; de la misma manera se obtiene el valor de la serie media, uno más tres son cuatro dividido dos, da dos; cinco más siete son doce que dividido dos, son seis; nueve más once veinte dividido dos, da el valor del término igual a diez. De la misma manera, se obtiene el término general de la “progresión media”, la semisuma de los dos términos generales de dos series alternas, da el término general de la serie media.
An = [ (4n-3) + (4n-1)]: 2 = (8n-4): 2 = 4n-2; comprobando.
A1 = [ (8*1-4)]: 2 = 2
A2 = [ (8*2-4)]: 2 = 6
A3 = [ (8*3-4)]: 2 = 10
A4 = [ (8*4-4)]: 2 = 14
A5 = [ (8*5-4)]: 2 = 18
IMAGEN nº 38
Dijo Mario a sus alumnos, queda demostrado como la serie media es la semisuma de las dos series alternas.
Autora: Angelines Fuertes.
Lunes, las nueve horas de la mañana de la cuarta semana, Mario decía a sus alumnos, hoy y durante toda esta semana nuestra clase, estará animada por sucesiones del mundo de los números árabes.
Se entiende por sucesión, una progresión de números tales que entre ellos existe una relación matemática. Cada uno de estos números se denominan términos, cuando la relación matemática entre ellos, es una suma la progresión se llama aritmética, si la relación matemática es un producto se dice geométrica. Para ambos casos la diferencia entre dos términos se llama “razón” de la progresión.
Las sucesiones pueden ser: sucesión finita, sucesión indefinida y doblemente indefinida.
Seguidamente tomó la tiza y en su pizarra cuadriculada Mario comienza a escribir varios ejemplos de progresiones aritmética de números árabes.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...... Razón R = 1...... número de términos N = 10
U0, U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9...... Nombre de sus términos
...1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...... Razón R = 1....... número de términos N = 9
U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, U9...... Nombre de sus términos.
Suma de los diez términos = [ (0+9)/2]*10 = 4,5*10 = 45
Suma de los nueve términos = [ (1+9)/2]*9 = 5*9 = 45
IMAGEN nº 30
Existe una fórmula muy sencilla para sumar los números en progresión aritmética, se multiplica la semisuma del primer y último término por el número de términos. Recordar el área del trapecio, semisuma de las bases por la altura.
Estas sucesiones de progresión aritméticas de números, pueden ser creado cada uno de sus términos en función de un “termino general” que llamamos An, siendo este función de “n” (ene), dando valores a “n”, obtendremos los valores de cada “término”, que en sucesiones llamaremos a cada uno de los términos:
A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9...... Nombre de sus términos. El índice de cada término, representa el valor de “n”, que se introduce en el término general, se plantean dos problemas.
1º.- Dada una sucesión, encontrar el “término general”.
2º.- Dado el “término general”, An, escribir la sucesión.
Ejemplos:
Sucesión 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... encontrar su término general. An= A1+ n * d; pero
como A1= A0; se puede quedar en: An = n * d
d = razón o diferencia entre cada término, para este caso d = 1.
A0 = 0+ 0*1 = 0
A1 = 0+ 1*1 = 1
A2 = 0+ 2*1 = 2
A3 = 0+ 3*1 = 3
A4 = 0+ 4*1 = 4
A5 = 0+ 5*1 = 5
A6 = 0+ 6*1 = 6
IMAGEN nº 31
Sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.... encontrar su término general. An = A1+ (n-1) *d
d = razón o diferencia
A1 = 1+ (1-1)*1 = 1
A2 = 1+ (2-1)*1 = 2
A3 = 1+ (3-1)*1 = 3
A4 = 1+ (4-1)*1 = 4
A5 = 1+ (5-1)*1 = 5
A6 = 1+ (6-1)*1 = 6
A7 = 1+ (7-1)*1 = 7
IMAGEN nº 32
Sucesión 1, 3, 5, 7, 9,.... encontrar su término general. An = 2n-1. Ejemplo clásico de los números impares de una calle, lado derecho.
A1 = 2*1-1 = 1
A2 = 2*2-1 = 3
A3 = 2*3-1 = 5
A4 = 2*4-1 = 7
A5 = 2*5-1 = 9
IMAGEN nº 33
Sucesión 2, 4, 6, 8, 10... encontrar su término general. An = 2n. Ejemplo clásico de los números pares de una calle, lado izquierdo.
A1 = 2*1 = 2
A2 = 2*2 = 4
A3 = 2*3 = 6
A4 = 2*4 = 8
A5 = 2*5 = 10
IMAGEN nº 34
Sucesión 1, 5, 9, 13, 17... encontrar su término general. An = 4n-3
A1 = 4*1-3 = 1
A2 = 4*2-3 = 5
A3 = 4*3-3 = 9
A4 = 4*4-3 = 13
A5 = 4*5-3 = 17
IMAGEN nº 35
Sucesión 2, 6, 10, 14, 18... encontrar su término general. An = 4n-2
A1 = 4*1-2 = 2
A2 = 4*2-2 = 6
A3 = 4*3-2 = 10
A4 = 4*4-2 = 14
A5 = 4*5-2 = 18
IMAGEN nº 36
Sucesión 4, 8, 12, 16, 20... encontrar su termino general. An = 4n.
Mario dice a sus alumnos, observar que la razón o diferencia es de cuatro en las progresiones:
1, 5, 9, 13, 17......... An = 4n-3 Imagina esta progresión como tu brazo derecho.
2, 6, 10, 14, 18....... An = 4n-2 Imagina la progresión como extremidades inferior.
3, 7, 11, 15, 19....... An = 4n-1 Imagina la progresión como tu brazo izquierdo.
4, 8, 12, 16, 20....... An = 4n Imagina la progresión de tu cabeza.
IMAGEN nº 37
La mayor de todas, pues ella, su cerebro, tiene imaginación, mayor su primer termino, mayor todos los siguientes y mayor su último término a igualdad de los mismos. La progresión media (media aritmética), igual que los términos alternos de una sucesión, su semisuma proporcionan el término que hay en el medio, uno más nueve son diez que dividido dos, da el término cinco; nueve más diecisiete son veintiséis que dividido dos, da el término trece; de la misma manera se obtiene el valor de la serie media, uno más tres son cuatro dividido dos, da dos; cinco más siete son doce que dividido dos, son seis; nueve más once veinte dividido dos, da el valor del término igual a diez. De la misma manera, se obtiene el término general de la “progresión media”, la semisuma de los dos términos generales de dos series alternas, da el término general de la serie media.
An = [ (4n-3) + (4n-1)]: 2 = (8n-4): 2 = 4n-2; comprobando.
A1 = [ (8*1-4)]: 2 = 2
A2 = [ (8*2-4)]: 2 = 6
A3 = [ (8*3-4)]: 2 = 10
A4 = [ (8*4-4)]: 2 = 14
A5 = [ (8*5-4)]: 2 = 18
IMAGEN nº 38
Dijo Mario a sus alumnos, queda demostrado como la serie media es la semisuma de las dos series alternas.
Autora: Angelines Fuertes.